Когда число π обрело имя и как это случилось.

Когда число π обрело имя и как это случилось.

День  числа π 14 марта.

Любопытные Кубик и Шарик отправились выяснять, кто же открыл  число пи, чему оно равно и как его посчитать.

– Шарик,  ты все знаешь, расскажи, что это за загадочное число  π? И почему сегодня отмечаю его день?  Его же давно посчитали,  да?

– И да и нет,  Кубик. Но давай по порядку.  Сначала давай разберемся,  что же такое число пи. Давай поставим очень простой эксперимент.  Возьмем стакан, и обернем его тонкой полоской бумаги,  измерим длину получившейся полоски. Теперь положим сверху на стакан палочку и обрежем по диаметру стакана. Теперь обернем палочку нашей полоской бумаги и…

– Погоди, погоди Шарик, так очень сложно.  Я запутался.

– Ничего сложного, смотри!

IMG_20200309_135509.jpg
IMG_20200309_135546.jpg
IMG_20200309_135717.jpg
IMG_20200309_135753.jpg

Попробуй сам! Получилось?  Оберни бумажку вокруг палочки… Сколько оборотов получилось?

– Три и маленький хвостик!

– Вот Кубик, это и будет число  Пи! Давай поточнее  посчитаем… Длина бумажной полоски 193 мм, длина палочки 61 мм, поделим одно на другое и получим  3.1639… На самом деле это, конечно, не точное значение, а  приближенное…

– Как это так, мы все померили, а значение неточное? Почему это? А какое точное?

– Не торопись,  Кубик, сейчас все расскажу. Точного значения пи никто пока не знает, и  сейчас ученые доказали, что посчитать точно его нельзя. Уже посчитано много знаков после запятой, несколько миллионов, но используют обычно для расчетов  значение 3.14…

Сейчас проводятся конкурсы суперкомпьютеров, кто сможет рассчитать больше знаков.

Без названия.jpg

И тут далеко еще не все знаки, которые уже посчитали.

– Шарик, скажи, а кто первый посчитал число пи? Это было давно? И как посчитали, так же как и мы сейчас?

– Когда точно открыли число пи неизвестно, но существует глиняная  табличка, найденная в Месопотамии, ей около 4000 тысяч лет. Смотри!

babylonpi7.jpg
Yale Babylonian Collection
tabletclear1.jpg
tabletread.jpg

У вавилонян , судя по этой картинке, пи было равно  трем.

–  А египтяне так же считали?  Или у них был другой способ?

– Египтяне тоже знали, чему равно отношение длины окружности к диаметру и использовали это знание в расчетах.  До нас,  к сожалению,  дошли только два математических папируса, но оба из  них, настоящие учебники по математике.  В  папирусе Ахмеса  есть задача на нахождение площади круглого поля диаметром 9 кхет ( египетская мера длины)

2020-03-10_131847.jpg
Фрагмент из папируса Ахмеса

Ученые расшифровали это решение и получили  вот такое число пи:

2020-03-10_132556.jpg

Смотри, как точно! И это было  примерно в 1850 году до нашей эры.

Но и в Древнем Вавилоне уже тоже не считали, что это число рано трем.

– Шарик, как же все это интересно. Скажи, и с тех пор больше число пи не пытались посчитать, так и пользовались египетским расчетом?

– Ну что ты, Кубик, каждый уважающий себя ученый старался вывести это загадочное число. сложно сказать, сколько существует различных способов вывести это число.  Древнегреческий ученый Архимед тоже выводил число пи, и его ответ был еще точнее, чем у египтян.

Более того, именно Архимед придумал способ, как посчитать пи, и этим способом пользовались многие ученые и позже.

Он брал окружность и вписывал в нее правильный многоугольник – например 6, 12 или 24 угольник и описывал вокруг окружности многоугольник.

Вот так, посмотри :

ce6cc251239fd16ab1992dae99224dc4.jpg
Метод Архимеда для шестиугольника

И это было огромным прорывом в математике,  потому что именно Архимед понял, что число пи рассчитывается с разной точностью, чем больше углов у многоугольника, чем точнее.

Архимед сделал расчет для правильного 96 угольника и выяснил, что  максимальное значение пи равно 22/7( 3.14285), а минимальное 223/71( 3.1408…). Обрати внимание, что для многих расчетов используется значение, равное 3.14

– И всё? Кто же еще исследовал это загадочное число пи?

– Еще пи исследовал греческий ученый Птолемей, да и много других ученых и каждый внес свой вклад, у всех получалась  разная точность.

tabel-pi.png
Пи глазами разных ученых

Метод  Архимеда на многие столетия стал основным методом вычисления числа Пи. Птолемей старательно вписал в круг  720 угольник и  приблизил пи  к числу 377/120 = 3.14167. В 4 веке китайский ученый Лю Хуэй вписал к круг уже 3072 угольник, и получил значение пи = 3, 14159 и это было самым точным значением вплоть до 15 века.

В  15 веке ученый Ал-Каши из обсерватории Улугбека в Самарканде  смог вписать в круг…. 805 306 368 угольник! Представляешь? И это была точность уже до 16 знака после запятой!

– Спасибо, Кубик!  Про пи и многоугольник я понял, а вот что за загадочная задача про квадратуру круга? Расскажи!

– Задача на самом деле простая.  Всего-то нужно построить с помощью циркуля и линейки квадрат, равный по площади кругу.  Простая задача?

–  Да! Что там сложного, бери и строй.

– А вот и нет, это как раз неразрешимая задача, но смогли это доказать только… Но обо всем по порядку .

Квадратура круга

Очень важное условие, что можно пользоваться только циркулем и линейкой. Леонардо да Винчи тоже бился над этой задачей и предложил очень простой способ. Нужно сделать цилиндр радиуса R и высотой  R/2 и намажем чернилами боковую поверхность цилиндра и прокатим по листу бумаги .  За один полный оборот цилиндр напечатает прямоугольник площадью πr2.  Попробуй сам ! Подойдет цилиндр от кухонных полотенец. нужно отмерить высоту, равную половине радиуса о обрезать лишнее.

Иллюстрация из книги “Число Пи. История длиной в 4000 лет.”

Только у нас получился прямоугольник, а не квадрат.

Поэтому поиск решения не прекращался…

В 16 веке голландский математик  Адриан Ван Роомен решает превзойти  ал – Каши и вписывает в круг  1 073 741 824 угольник ( это 2 в 30 степени сторон)  и вычисляет следующий,  17 знак после запятой.  Ученые все так же используют методы Архимеда для вычисления следующего знака.

Триумф метода  Архимеда – это вписанный  32 512 254 720 угольник, а сделал это  математик  Лудольф ван Цейлин, тоже голландец.  Он потратил 10 лет жизни и вычислил 20 знак числа пи, а потом дошел и до 35!

– Шарик, я что-то не понимаю. Помнишь, ты мне рассказывал про шахматы и про то, что царь не смог расплатиться с мудрецом Сетой, потому что на свете еще не выросло столько пшеницы… Это было 264 степени, а Лудольф вписал в круг 253 угольник, кажется что если бы стороны были бы даже по 1 мм, он бы на нашей планете не поместился, как же так?

– Кубик, дорогой, ты безусловно прав! Умница! Конечно, Лудольф такой многоугольник не строил на бумаге, он был в его голое, и только расчеты были на бумаге. Смотри, что я тебе покажу, это страница из его работы, с вычислениями.

  Кстати в то время число пи еще не имело своего имени и называлось лудольфовым числом, в честь этого очень увлеченного голландца!

– Тогда пи еще так не назвалось? Я был уверен, что имя ему придумали еще в Древней Греции!

– Нет, это случилось позднее. На смену геометрическим методам расчета пи,( хоть они и производились уже не построениями, а вычислениями, это все равно было архимедово вписывание многоугольников), пришли аналитические методы. Первый, кто их применил, был  Христиан Гюйгенс.  Чуть позднее, в 1673 году,  удивительное открытие сделал Лейбниц, он нашел красивую и простую последовательность ,  названную его именем.

2020-03-15_150732.jpg

Этот ряд позволял вычислить пи с любой точностью. Позднее были придуманы и другие ряды, дающие еще большую точность.

  Самые именитые ученые соревновались в точности вычисления пи, вычислили 71 знак после запятой.

В  1706 году Джон Мэчин вычислил 100 знаков пи, и впервые ввел обозначение числа, греческой буквой пи.  Но общепринятым обозначение стало не сразу.  В 1736 году Леонард Эйлер стал пользоваться этим обозначением и вскоре число окончательно обрело свое имя!

Но, Кубик, как ты понимаешь, на этом история π не заканчивается…

– Понимаю, понимаю, а что же было дальше?

– Дальше все уточняли и открывали новые цифры и числа пи, в 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что нет такой обыкновенной дроби, в виде которой можно представить число пи, а значит это число иррациональное, то есть пи никогда не заканчивается и не является периодическим.

Позднее, в 1882 году, Линдерманом  была доказана и трансцендентность пи. Это значит, что пи не может быть решением ни одного уравнения с целыми коэффициентами.  А это значит, что задача о квадратуре круга не решаема!

– Спасибо Шарик! Удивительная история у числа π ! А продолжение истории будет?

– Обязательно будет! А знаешь ли ты, Кубик, что NASA для своих расчетов космических полетов, использует пи с точностью до 16 знаков после запятой?